Local interaction between vorticity and shear in a perfect incompressible fluid

Abstract
We show from a simple model related to the Euler equations that the flow of an incompressible and inviscid fluid diverges in a finite time. For this we look at the local interaction between vorticity and shear by neglecting the gradients of these two quantities in their equations of motion. A non linear system of 8 first order differential equations is obtained whose asymptotic behaviour can be easily obtained. The two largest eigenvalues of the shear tensor diverge to + ∞ and the smallest one to - ∞. The vorticity vector also diverges and lies along the eigenvector of the shear tensor which corresponds to the (positive) intermediate eigenvalue, thus giving a positive sign to the energy spreading function of the von Kármán-Howarth equation. At the same time the rotation of the shear principal axis stops.

Résumé
Nous montrons par un modèle simple tiré des équations d'Euler que l'écoulement d'un fluide parfait incompressible devient divergent au bout d'un temps fini. Pour cela nous considérons l'interaction locale entre la vorticité et le cisaillement en négligeant les gradients de ces deux grandeurs dans leurs équations du mouvement. Il en résulte un système de 8 équations différentielles non linéaires du premier ordre dont le comportement asymptotique peut être facilement extrait. Les 3 valeurs propres du tenseur de cisaillement divergent vers + ∞ pour les deux plus grandes et - ∞ pour la plus petite. Le vecteur vorticité diverge aussi en se couchant sur le vecteur propre du tenseur de cisaillement qui correspond à la valeur propre intermédiaire (positive), donnant ainsi un signe positif à la fonction de transfert de l'énergie de l'équation de von Kármán-Howarth. En même temps la rotation du référentiel des axes propres du cisaillement s'arrête.