Issue
J. Phys. France
Volume 42, Number 7, juillet 1981
Page(s) 903 - 913
DOI https://doi.org/10.1051/jphys:01981004207090300
J. Phys. France 42, 903-913 (1981)
DOI: 10.1051/jphys:01981004207090300

Utilisation des matrices cycliques pour l'étude des cristaux parfaits : discussion générale

Ph. Audit

Laboratoire P.M.T.M., Université Paris-Nord, avenue J.-B.-Clément, 93430 Villetaneuse, France


Abstract
The proof is given of two theorems which enable to evaluate in closed form the elements of any function of a symmetrical cyclic or generalized cyclic matrix of infinite order. It is proposed a general treatment of the one, two or three dimensional perfect crystal models where the (scalar or tensor) interactions of each atom with its close neighbours is expressed in terms of various matrices D. As an example the method is applied to obtain closed form expressions of the Green's function ((λ - iε) 1 - D)-1 elements and of the spectral density function.


Résumé
On démontre deux théorèmes qui permettent d'exprimer sous forme analytique les éléments d'une fonction quelconque d'une matrice symétrique, de dimensions infinies, cyclique ou cyclique par blocs. On propose une méthode générale de résolution des modèles du cristal parfait, où l'ensemble des interactions (scalaires ou tensorielles) de chaque atome avec un nombre fini de voisins est décrit par une matrice D dont on précise la structure à une, deux ou trois dimensions. La fonction de Green ((λ - iε) 1 - D)-1 et la fonction de densité spectrale sont évaluées sous forme analytique à titre d'exemple.

PACS
0290 - Other topics in mathematical methods in physics.
6310 - General theory.

Key words
Green's function methods -- lattice dynamics