J. Phys. France 39, 993-1002 (1978)
DOI: 10.1051/jphys:01978003909099300

Coupled fields in one dimension : cross-over from a continuous symmetry to a discrete one

P. Lederer¹ et P. Pitanga<sup>2

1</sup>  Centro Brasileiro de Pesquisas Fisicas, Av. Wenceslau Braz, 71, fundos 20 000 Rio de Janeiro, R. J., Brasil
²  Instituto de Fisica, Universidade Federal do Rio de Janeiro Ilha do Fundão, 20 000 Rio de Janeiro, R. J., Brasil

Abstract
We study a pedagogical example of a one dimensional Landau Ginzburg functional with a symmetry-breaking perturbation which causes a cross-over behaviour from a continuous symmetry (n = 2) to a discrete one. The correlation length is shown to be governed by the lowest energy defects, which are solitons in the weak anisotropy limit. As the symmetry breaking term is introduced in the Hamiltonian the Goldstone mode transforms into solitons, the energy of which is proportional to the square root of the anisotropy - their characteristic localization length is inversely proportional to the square root of the anisotropy. Application to various physical cases is discussed : dilute magnet near the percolation threshold, three dimensional array of weakly coupled chains and structural transitions.

Résumé
Nous étudions un exemple pédagogique de fonctionnelle de Landau Ginzburg contenant un terme qui brise la symétrie continue n = 2, de telle sorte que le système physique correspondant présente un cross-over d'un comportement de symétrie continue à un comportement de symétrie discrète. La longueur de corrélation est gouvernée par les défauts de plus basse énergie, qui sont des solitons dans la limite des faibles anisotropies. Avec l'introduction dans l'Hamiltonien de termes qui brisent la symétrie continue, le mode de Goldstone se transforme en solitons, d'énergie proportionnelle à la racine carrée de l'anisotropie et de longueur caractéristique de localisation inversement proportionnelle à cette même racine carrée. Nous discutons diverses applications : systèmes magnétiques dilués près du seuil de percolation, cristal tri-dimensionnel de chaines couplées, transitions structurales.

PACS
6370 - Statistical mechanics of lattice vibrations and displacive phase transitions.
6460 - General studies of phase transitions.
7145 - Collective effects.

Key words
classical field theory -- displacive transformations -- electric domain walls -- magnetic anisotropy -- magnetic domain walls -- magnetic properties of dilute systems -- one dimensional conductivity -- renormalisation -- soft modes -- solid state phase transformations -- solitons -- spin waves