Critical dimensionality for a special percolation problem

Abstract
We consider a set of ideal chains, each with N beads (N >> 1) inscribed on a d-dimensional periodic lattice. Different chains are uncorrelated : thus any lattice site may belong to more than one chain ; two chains are said to be connected if they have at least one site in common. This defines a percolation problem (where the variable is the fraction c of occupied sites) physically related to a gelation process in polymers. For d > 4 the critical fraction c 0 is proportional to N-1 and the behaviour near c0 is of the mean field type. This simplification is due to the fact that c0 >> c*, where c* (˜ N1-d/2) is the concentration at which the chains begin to overlap. For d < 4 we expect c0 ˜c* and critical exponents not different from those of a site (or bond) percolation problem. We expect the same critical dimensionality to be maintained for the (more realistic) case of chains coupled by a repulsive interaction.

Résumé
Nous considérons un système de chaînes idéales, à N maillons (N >> 1) inscrites sur un réseau périodique à d dimensions. Il n'y a pas de corrélations entre chaînes différentes : chaque site peut être occupé par plusieurs maillons. Deux chaînes sont dites connectées si elles ont au moins un site en commun. Ceci définit un problème de percolation (où la variable est la fraction c de sites occupés) relié physiquement à certains mécanismes de gélation des polymères. Pour d > 4 le seuil de percolation c0 est proportionnel à N-1. Nous donnons un argument qui suggère que le comportement près de c0 est alors du type champ moyen. Cette simplification est due au fait que c0 >> c* où c* (˜ N1-d/2) est la concentration à laquelle les chaînes commencent à s'interpénétrer. Pour d < 4 on prévoit c0 ˜ c* et des exposants critiques qui sont ceux de la percolation usuelle. La même dimensionalité critique (d c = 4) devrait se retrouver pour le problème plus réaliste des chaînes avec interactions répulsives.