The theory of Raman effect in crystals

Abstract
A theoretical discussion of the theory of Raman scattering by phonons in crystals is given. The hamiltonian is taken as H = H0 + H1 where H0 is: the hamiltonian of the photons, HR ; plus the hamiltonian of the phonons, H L ; plus the electron hamiltonian HE. The interaction term is H1, which is the sum of electron-radiation hamiltonian HER, plus the electron-lattice hamiltonian HEL. Either one particle Bloch basic states, or exciton basic states can be used for HE ; the harmonic approximation is used for HL. Thus : H = HR + HL + HE + HER + HEL. The operators are written in second quantized form. By performing suitable canonical transformations the interaction term is eliminated, in lowest order. The remaining hamiltonian can then be transformed using quasi particle creation-destruction operators. Raman scattering can then be calculated using first order time dependent perturbation theory, taking the appropriate higher order commutators as the (transformed) perturbing hamiltonian, and evaluating certain matrix elements. More simply (in lower order) the product eigenstates of H0 can be used to describe Raman scattering, taking the appropriate matrix-element of the transformed, perturbing, hamiltonian. Comparison can then be made with the results of Loudon [1]. This method enables us to deal also with the case in which HEL is larger than HER. For example, if HEL were a first order perturbation, while HER was second order (as perhaps in an ionic crystal such as CaF2 where the Fröhlich electron-lattice interaction may be relevant). Differences between this case, and the former case in which HEL and HER are of same order will be discussed. Other applications of this method will be presented for example spin-flip (magnetic dipole) Raman-lattice scattering will be proposed as a novel process in heavy ion ionic crystals.

Résumé
On discute la théorie de la diffusion Raman par les phonons dans les cristaux. On prend pour hamiltonien H = H0 + H1, où H0 est la somme de l'hamiltonien HR des photons, de celui des phonons HL et de l'hamiltonien d'interaction HE. Le terme d'interaction est H1, somme de l'hamiltonien relatif aux électrons et au rayonnement HER et de celui relatif au réseau et aux électrons HEL. On peut employer pour HE soit les états de base de Bloch pour une particule, soit les états excitoniques. On utilise pour HL l'approximation harmonique. Au total H = H R + HL + HE + HER + HEL. Les opérateurs s'écrivent sous forme de seconde quantification. Par des transformations canoniques convenables, on élimine le terme d'interaction, dans l'ordre le plus bas. L'hamiltonien restant peut se transformer en utilisant les opérateurs de création et de destruction. La diffusion Raman se calcule alors par la théorie des perturbations du premier ordre dépendant du temps, en prenant pour hamiltonien perturbateur les commutateurs d'ordre supérieur convenables et calculant certains éléments de matrices. Plus simplement (à un ordre inférieur) les états propres produits de H0 peuvent être employés à décrire la diffusion Raman, en prenant l'élément de matrice convenable de l'hamiltonien perturbateur transformé. On peut comparer les résultats à ceux de Loudon [1]. Cette méthode permet de traiter aussi le cas où HEL est plus grand que H RE, par exemple, si HEL est une perturbation du premier ordre et HER du deuxième ordre (ainsi que cela se rencontre peut-être dans un cristal ionique comme CaF2, où l'interaction de Fröhlich entre électrons et réseau peut être importante). Les différences entre ce cas et le précédent, où HEL et HER sont du même ordre, seront discutées. On exposera d'autres applications de cette méthode ; par exemple la diffusion Raman par dipôle magnétique sera suggérée comme nouveau phénomène dans les cristaux ioniques à ions lourds.