J. Phys. France 51, 801-813 (1990)
DOI: 10.1051/jphys:01990005109080100

Exact construction of periodic minimal surfaces : the I-WP surface and its isometries

S. Lidin¹, S.T. Hyde² et B.W. Ninham<sup>2

1</sup>  Department of Inorganic Chemistry 2, Chemical Centre, Lund University, Box 124, 22100 Lund, Sweden
²  Department of Applied Mathematics, Research School of Physical Sciences, Australian National University, Box 4, Canberra, Australia

Abstract
We have analysed in detail the geometry of the I-WP infinite periodic minimal surface, discovered by Alan Schoen in the 1960's. An exact parametrisation has been found, using the local Weierstrass equations for the surface, involving modified hyperelliptic integrals. We have used rapidly converging integration techniques to calculate the surface to volume ratio of this surface, and found that it differs from the value conjectured by Anderson. Further, the family of isometric minimal surfaces related to the I-WP surface has been found to exhibit a novel sequence of structures ; viz. repeated formation of the I-WP surface itself.

Résumé
On analyse en détail la géométrie de la surface minimale infinie et périodique I-WP, découverte par Alan Schoen dans les années 60. En utilisant les équations de Weierstrass locales pour la surface, on obtient une paramétrisation exacte à l'aide d'intégrales hyperelliptiques modifiées. A l'aide de méthodes d'intégrations numériques rapides, le rapport surface/volume de cette surface est calculé ; il diffère de la valeur conjecturée par Anderson. De plus, on trouve que la famille de surfaces minimales isométriques reliées à la surface I-WP possède une nouvelle suite de structures qui reproduisent la surface I-WP elle-même.

PACS
0240 - Geometry, differential geometry, and topology.

Key words
integration -- topology