Semiclassical matrix mechanics. I. The harmonic oscillator

Abstract
Matrices of dynamical variables of the one-dimensional harmonic oscillator are calculated by a new semiclassical method formulated by More and Warren. The results are semiclassical matrices Xn, m, Pn, m, etc., which i) exactly obey selection rules for zero matrix-elements, ii) are very accurate, circa 1 %, for nonzero matrix-elements, iii) which diagonalize the Hamiltonian H, and iv) which exactly satisfy the Heisenberg commutation relations and equations of motion. These statements are true for matrix-elements Fn, m with m ≽ n. The results show that most of the quantum physics is contained in the extended semiclassical theory.

Résumé
Les matrices des variables dynamiques d'un oscillateur harmonique à 1 dimension sont calculées par une nouvelle méthode semi-classique formulée par More et Warren. Les éléments de matrice semi-classiques obtenus Xn, m , Pn, m : i) obéissent exactement aux règles de sélections pour les éléments de matrice nuls ; ii) sont très précis (environ 1 %) pour les éléments de matrice non nuls ; iii) donnent un Hamiltonien sous forme diagonale ; iv) satisfont exactement les relations de commutation de Heisenberg et les équations d'évolution. Ces propriétés sont vérifiées pour les éléments de matrice Fn, m avec m ≽ n. Les résultats montrent qu'une grande partie de la Physique Quantique est contenue dans cette théorie semi-classique étendue.