Conséquences d'un principe d'extremum en turbulence

Abstract
Many authors have proposed that the extremum of some quantity determines the observed turbulent flow. None of these quantities have allowed a generalization of the corresponding extremum principle. We propose here to examine the consequences of the only existence of such a quantity, without explicitation. Taking as an example the often studied developped turbulence, we show that these consequences are in agreement with what is known or accepted about it : log normal distribution for the Kolmogorov energy flux ε, stretched exponential law exp - (k/k0)β for ε as a function of the wave vector k. In such a formalism moreover, β appears as the co-dimension of the dissipative structures. We predict that in the high Reynolds number (Re) limit, β = β0/Log Re where β0 is a constant.

Résumé
De nombreux auteurs ont proposé que l'écoulement turbulent observé soit celui qui rend extremale telle ou telle quantité. Ces principes d'extremum n'ont jamais pu être généralisés. Nous proposons dans cet article de postuler l'existence d'une telle quantité sans l'expliciter et de tirer les conséquences de cette simple existence. Sur l'exemple très souvent étudié de la turbulence développée ces conséquences semblent en accord avec ce que l'on connaît ou admet : distribution Log normale du flux d'énergie ε de Kolmogorov, loi en exp - (k/k0)β pour ε fonction du vecteur d'onde k. Dans notre formalisme de plus, β apparaît comme la co-dimension des structures dissipatives et nous prédisons que β = β0/Log Re, où β0 est une constante et R e le nombre de Reynolds, à la limite où Re → ∞ .