| Numéro |
J. Phys. France
Volume 49, Numéro 11, novembre 1988
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| Page(s) | 1835 - 1849 | |
| DOI | https://doi.org/10.1051/jphys:0198800490110183500 | |
DOI: 10.1051/jphys:0198800490110183500
Crystallography of quasicrystals ; application to icosahedral symmetry
L.S. Levitov1 et J. Rhyner2, 31 L. D. Landau Institute for Theoretical Physics, USSR Academy of Sciences, Moscow, U.S.S.R.
2 Institute for Theoretical Physics, ETH-Hönggerberg, 8093 Zürich, Switzerland
3 Asea Brown Boveri, Corporate Research, 5405 Baden, Switzerland
Abstract
Crystallographic concepts are extended to quasicrystalline structures and applied to icosahedral quasicrystals. 2-dimensional N fold rotational symmetries are shown to be compatible with Bravais lattices in (at least) φ (N) dimensions, where φ (N) is the Euler number, while for 3-dimensional icosahedral symmetry the minimal dimension is 6. The case of icosahedral crystallography is worked out in detail. A complete classification of six-dimensional periodic structures with icosahedral symmetry is derived. There are surprisingly few types of 6-dimensional « crystallographic objects » with icosahedral symmetry, namely 3 Bravais lattice types, 2 point groups, and 11 inequivalent space groups. The problem of equivalence of icosahedral space groups is studied in detail. Similar to the case of ordinary 3-dimensional crystals, nonsymmorphic space group symmetries lead to extinction of Bragg peaks. These extinctions are calculated systematically.
Résumé
Les concepts de la cristallographie sont étendus aux structures quasicristallines et appliqués aux quasicristaux icosaédriques. On montre que les symétries de rotation d'ordre N bidimensionnelles sont compatibles avec les réseaux de Bravais en dimension φ (N ) (au moins), où φ (N) est le nombre d'Euler, alors que pour la symétrie de l'icosaèdre tridimensionnelle, la dimension minimale est 6. La cristallographie de l'icosaèdre est traitée en detail. Une classification complète des structures périodiques en six dimensions avec symétrie icosaédrique est dérivée. 11 est surprenant de voir qu'il n'y a que quelques types d'« objets cristallographiques » en 6 dimensions avec la symétrie de l'icosaèdre, en fait trois structures type réseaux de Bravais, deux groupes ponctuels et onze groupes d'espace inequivalents. Le probleme de l'équivalence des groupes d'espace icosaédriques est étudié en détail. Comme dans le cas des cristaux ordinaires à trois dimensions, les symétries de groupes d'espace non « symmorphes » conduisent à l'extinction des pics de Bragg. Ces extinctions sont calculées systématiquement.
6150 - Crystalline state.
Key words
crystal symmetry -- quasicrystals -- space groups