Scaling theory of star polymers and general polymer networks in bulk and semi-infinite good solvents

Abstract
A scaling theory of general polymer networks in bulk and semi-infinite good solvents is derived by using the equivalence between the generating function for the total number of configurations and the multi-spin correlation function of the classical n-component Heisenberg model in the limit n → 0. For general polymer networks with fixed topology G composed of f linear chains with the same length l, the total number of configurations behaves for large f as Ng(l, l, ..., l) ˜ lγg- 1 μlf. The exponent γg is expressed exactly in terms of the corresponding exponents y ( f ) and γ s(f) of f-arm (free and center-adsorbed) star polymers. When g of the f arms of the star polymer are attached to the surface at their end points, the exponent γg γ11 ... 1 (f) is given in terms of that for f-arm star polymers y ( f ) and the exponents of linear chains as γ11 ... 1 (f) = γ (f) + v + g [γ11 - γ 1]. Also the exponent γg for comb polymers (with g 3-functional units) is reduced to a linear combination of the exponent of 3-arm star polymers, y (3 ), and the configuration number exponent of linear chains, γ, as γcomb (g ) = y + g [y (3) - y ]. The star-polymer exponents γ (f), γs (f) and γ11 ... 1 (f) are evaluated by means of mean-field theory, ε expansion and some general considerations. Our results for y ( f ) and γs(f) are $$ $$ where A ( f ) and B (f) are regular functions of f and are of O(ε 2). A ( f ) is found to be ε 2/64 + O(ε 3). Our first formula for γ ( f) is, however, inconsistent with Duplantier's exact result for the two-dimensional case, while our scaling relations for γg in terms of γ(f), γs( f) are consistent with his earlier results. The end-to-end distribution function pg (r) of a polymer network with general topology G is found to have a scaling form pg (r) ˜ r -dg( rL-ν) with the exponent ν of linear chains. Here L denotes the total length of chains. Thus the mean square end-to-end distance <r2>g behaves like L2ν . Scaling ideas are also applied to study the case where linear chains with different lengths construct the polymer networks. Relations to the direct method are also pointed out.

Résumé
Nous établissons une théorie d'échelle des réseaux généraux de polymères, dans de bons solvants, en volume et en milieu semi-infini, en utilisant l'équivalence entre la fonction génératrice du nombre total de configurations et la fonction de corrélation à plusieurs spins du modèle de Heisenberg classique à n composantes dans la limite n → 0. Dans le cas de réseaux de polymères à topologie fixée G, composés de f chaînes linéaires de longueur f, le nombre total de configurations se comporte, pour f grand, comme Ng(l, l, ..., l) ˜ lγg-1μ lf. L'exposant γg peut s'exprimer entièrement en terme des exposants y ( f ) et γs(f) des polymères étoilés (libres et à centre fixé) à f branches. Quand les g des f branches du polymère étoilé sont attachés à une surface par leurs extrémités, les exposants γg ≡ γ11 ... 1 (f) sont donnés en terme de ceux des polymères étoilés à f branches et des exposants des chaînes linéaires γ11 ...1 (f) = γ (f) + ν + g [γ 11- γ1]. De plus, l'exposant γg pour les polymères en forme de peigne (avec g unités trifonctionnelles) se réduit à une combinaison linéaire des polymères étoilés à 3 branches, y (3 ), et de l'exposant du nombre de configurations des chaines linéaires, γ : γcomb (g ) = γ + g [γ(3) - γ ]. Les exposants de polymères étoilés γ (f), γs(f) et γ 11...1 (f) sont calculés dans la théorie du champ moyen et dans le développement en ε. Nos résultats pour γ (f) et γ s(f) sont $$ $$ où A ( f ) et B(f) sont des fonctions régulières de f d'ordre ε2. Pour A ( f ) nous trouvons ε2/64 + O (ε3). Nos expressions de γg en fonction de y ( f ), γs( f) sont en accord avec les résultats antérieurs de Duplantier. Toutefois notre première expression pour γ (f) ne converge pas vers le résultat exact de Duplantier dans la limite de dimension 2. Nous obtenons la forme d'échelle de la fonction de distribution des extrémités d'un réseau de polymères de topologie générale G : pg (r) ˜ r-d Φ g (rL- ν) où ν est l'exposant des chaînes linéaires et L la longueur totale des chaînes. En particulier la valeur moyenne carrée de la distance entre extrémités <r2>g se comporte en L2ν. Nous appliquons aussi les idées d'échelle à l'étude du cas où les réseaux de polymères sont faits de chaînes linéaires de différentes longueurs. Nous signalons aussi les relations avec la méthode directe.