J. Phys. France 47, 1127-1136 (1986)
DOI: 10.1051/jphys:019860047070112700

Computation of the dimension of a model of fully developed turbulence

R. Grappin¹, J. Léorat¹ et A. Pouquet<sup>2

1</sup>  CNRS Observatoire de Meudon, DAF, F-92190 Meudon, France
²  CNRS Observatoire de Nice, BP252, F-06007 Nice Cedex, France

Abstract
We compute numerically the attractor dimension of a model of fully developed MHD turbulence both using Lyapounov exponents, and via a counting algorithm. The Lyapounov dimension is found to be essentially given by the total number of modes which lie in the inertial range; the maximal exponent, i.e. the divergence rate of nearby trajectories, is given by the inverse of the shortest time scale available in the inertial range. The correlation dimension, on the other hand, is found to be given by roughly one third of the modes in the inertial range. Both evaluations of dimension coincide only at very low Reynolds, i.e. at low dimension (equal to about 3). If extrapolated to real 3-dimensional Navier-Stokes turbulence, our results are consistent with the two scaling laws : 1) the maximal Lyapounov exponent scales as Re1/2, 2) the Lyapounov dimension and Kolmogorov entropy scale as Re9/4 (no saturation of the dimension of the turbulent attractor).

Résumé
On calcule la dimension de l'attracteur d'un modèle scalaire de turbulence MHD développée selon la méthode des exposants de Lyapounov d'une part, et d'autre part à l'aide d'un algorithme de comptage. On obtient numériquement que la dimension de Lyapounov est à peu près égale au nombre total de modes présents dans la zone inertielle, et que l'exposant maximal, c'est-à-dire le taux de divergence des trajectoires proches, est donné par l'inverse du temps caractéristique le plus court présent dans la zone inertielle. La dimension de corrélation, d'autre part, est égale à environ un tiers du nombre de modes présents dans la zone inertielle. Les deux estimations de la dimension ne coincident qu'à faible nombre de Reynolds, c'est-à-dire à basse dimension (égale à environ 3). Extrapolés à la turbulence réelle à 3 dimensions (Navier-Stockes), nos résultats numériques sont compatibles avec les deux lois d'échelle : 1) l'exposant de Lyapounov maximal varie comme Re1/2, 2) la dimension de Lyapounov et l'entropie de Kolmogorov varient comme Re9/4 (pas de saturation de la dimension de l'attracteur turbulent).

PACS
4710 - General theory.
4727G - Isotropic turbulence; homogeneous turbulence.
4765 - Magnetohydrodynamics and electrohydrodynamics.

Key words
Lyapunov methods -- magnetohydrodynamics -- turbulence