The localization transition in the Aubry model through maps

Abstract
The equation of motion for the wave function of the 1-d Aubry model is analyzed through a 3-d map which couples the modulation parameter γ and the integrated density of states k. Numerical results are presented for constant γ and k for energy E = 0 as a function of the potential strength V. The localization transition is found at V = 2 as the disappearance of a well defined curve into a cloud of points. The curves grow in complexity when approaching the critical value from below. We define a mean radius for the xy-plane projection of the 3-d map and we show numerically that it converges to a finite constant for V < 2. Also, its critical behavior is analyzed for V equal to the golden mean. Comments are made on previous results concerning disordered chains.

Résumé
L'équation de mouvement pour le modèle d'Aubry unidimensionnel est étudiée à l'aide d'une application 3-d qui couple le paramètre de modulation γ avec la densité d'états intégrée k. Nous présentons des résultats numériques pour l'énergie E = 0 et pour γ et k constants en fonction du potentiel V. Pour V = 2 la transition de localisation se manifeste par le passage d'une courbe bien définie à un nuage de points. La complexité des courbes augmente lorsqu'on approche par en dessous la valeur critique. Nous définissons un rayon moyen pour la projection sur le plan x-y de l'application 3-d et nous montrons numériquement qu'il converge vers une constante finie pour V < 2. D'autre part, son comportement critique est analysé pour un γ égal au nombre d'or. Finalement, nous discutons des résultats antérieurs sur la chaîne désordonnée.