J. Phys. France 50, 745-755 (1989)
DOI: 10.1051/jphys:01989005007074500

Failure thresholds in hierarchical and euclidian space by real space renormalization group

Didier Sornette

Laboratoire de Physique de la Matière Condensée, CNRS URA 190, Faculté des Sciences, Parc Valrose, 06034 Nice Cedex, France

Abstract
The scaling of the failure strength as a function of the size L and the influence of disorder in hierarchical and Euclidian systems are discussed within a real space renormalization group (RG). In hierarchical models for which the RG is exact, two universality classes are found : for « small disorder », the system is strong and its strength increases as a power of its size whereas for « large disorder », the system has a finite strength which does not increase as L increases. However, the exponents are not universal and depend upon the detailed hierarchical construction and on disorder. An approximate RSRG is also proposed to treat the case of two and three dimensional Euclidian systems. We find that the system is always strong in the sense that its strength increases as a powerlaw of its size, with an exponent which is weakly dependent on disorder and is thus not strictly universal.

Résumé
On présente une analyse du groupe de renormalisation (GR) dans l'espace réel pour les lois d'échelle de la force de rupture en fonction de la taille L et du désordre, dans des espaces hiérarchiques et euclidiens. Dans les modèles hiérarchiques pour lesquels le GR est exact, on trouve deux classes d'universalité : aux faibles désordres, le système est « résistant » à la rupture et sa force croît comme une puissance de sa taille, tandis qu'aux forts désordres, le système a une force finie qui ne croît pas avec sa taille. Les exposants trouvés ne sont pas universels et dépendent du détail de la construction hiérarchique et du désordre. Un GR approximé est aussi proposé pour les systèmes euclidiens en dimensions deux et trois. On trouve que le système est toujours resistant dans le sens que sa force à la rupture croît comme une puissance de sa taille avec un exposant dépendant faiblement du désordre et donc non universel.

PACS
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
4650 - Fracture mechanics, fatigue and cracks.

Key words
fracture mechanics -- lattice theory and statistics -- random processes -- renormalisation -- transport processes