J. Phys. France 50, 609-631 (1989)
DOI: 10.1051/jphys:01989005006060900

Fluctuations and lower critical dimensions of crystalline membranes

Joseph Aronovitz, Leonardo Golubovic et T.C. Lubensky

Department of Physics, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA 19104-6396, U.S.A.

Abstract
We study flexible D-dimensional fixed-connectivity crystalline membranes fluctuating in a d-dimensional embedding space. We address both the crumpling transition and fluctuations around the flat phase by means of qualitative arguments and exact analyses in the limit of large d. In particular, we investigate the nature of the crossover between critical and nonlinear elastic behavior in the flat phase near the crumpling transition. Using two different approaches, we argue that the lower critical dimension, Dlc(d), below which only the low-rigidity crumpled phase exists at finite temperatures can be computed as a function of d. One approach determines Dlc(d) by considering disordering effects of capillary waves on the long-range order of the membrane tangent vectors in the low-temperature phase. The other identifies D lc(d) as thedimension at which the Hausdorff dimension of the membrane at the second-order crumpling transition is equal to that of the flat phase. We explicitly calculate Dlc(d) in the large-d limit and find that Dlc(d) < 2, at least for sufficiently large d. Throughout the paper we present qualitative arguments that D lc(d) < 2 is satisfied in general. We also consider the lower critical dimension Du(d) of the positional order of particles comprising the membrane. We find Du(∞) = 3, and calculate the 1/d correction to this result. On qualitative grounds we argue that 2 ≤ Du(d) ≤ 3, with Du(d) = 2, when d = D = D u(d) = 2, and Du(d) = 3, when d → ∞.

Résumé
Nous présentons l'étude de membranes cristallines de connectivité fixée et dimension D dans un espace à d dimensions. Nous étudions la transition de plissage et les fluctuations autour de la phase plane avec des arguments qualitatifs et une analyse exacte dans la limite où d est grand. En particulier, nous étudions la nature de la transition entre le comportement élastique critique et non linéaire dans la phase plane près de la transition de plissage. Avec deux approches différentes, nous montrons que la dimension critique inférieure Dlc(d), en dessous de laquelle il n'existe que la phase plissée à température finie, peut être exprimée en fonction de d. Une approche détermine Dlc (d) en considérant les effets de désordre sur l'ordre à longue distance des vecteurs tangents à la membrane dans la phase basse température, dus aux ondes capillaires. L'autre approche identifie Dlc( d) à la dimension à laquelle la dimension de Hausdorff de la membrane à la transition de plissage du deuxième ordre est égale à celle de la phase plane. Nous calculons explicitement Dlc(d) dans la limite de d grand et obtenons Dlc(d) < 2, au moins pour d suffisamment grand. Tout au long de l'article, nous présentons des arguments qualitatifs qui montrent que, en général, Dlc( d) < 2. Nous considérons aussi la dimension critique inférieure Du(d) de l'ordre de position des particules qui constituent la membrane. Nous trouvons Du(∞) = 3 et calculons la correction en 1/d de ce résultat. En termes qualitatifs, nous montrons que 2 ≤ Du(d) ≤ 3 avec Du( d) = 2, quand d = D = Du(d) = 2 et Du(d) = 3 quand d → ∞.

PACS
6460F - Equilibrium properties near critical points, critical exponents.
6835R - Phase transitions and critical phenomena.
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.

Key words
capillary waves -- fluctuations -- long range order -- membranes -- surface phase transformations