J. Phys. France 48, 771-779 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:01987004805077100

Anomalous scaling of moments in a random resistor networks

G.G. Batrouni¹, A. Hansen² et M. Nelkin<sup>3

1</sup>  Newman Laboratory of Nuclear Studies, Cornell University, Ithaca, New York 14853, U.S.A.
²  Department of Physics, Cornell University, Ithaca, New York 14853, U.S.A.
³  School of Applied and Engineering Physics, Cornell University, Ithaca, New York 14853, U.S.A.

Abstract
We consider a random resistor network on a square lattice at the bond percolation threshold pc = 1/2. We calculate the current distribution on the incipient infinite cluster using a Fourier accelerated conjugate gradient method. We compute the n-th moment of this distribution in both the constant current and constant voltage ensembles for lattices up to 256 x 256 in size, and examine how these moments scale with lattice size. When analysed in the conventional way, our scaling exponents agree with published results. Previous authors have assumed that these exponents are theoretically determined in the limit of large n by the singly connected bonds. This makes an implicit assumption about the order of limits for which we find no theoretical justification. We reanalyse our data by subtracting the contribution of the singly connected bonds before calculating the moments. In the limit of infinite lattice size, this can make no difference, but for our finite lattices, the apparent scaling exponents are strongly affected. The dilemma that we pose can not be resolved numerically. We discuss briefly how it might be studied theoretically.

Résumé
Nous considérons un réseau carré de résistances aléatoires au seuil de percolation de lien pc = 1/2. Nous calculons la distribution de courant sur l'amas infini naissant au moyen d'une méthode de gradient conjugué accélérée par transformation de Fourier. Nous calculons le n- ième moment de cette distribution à la fois dans l'ensemble à courant constant et à voltage constant sur des réseaux de taille variant jusqu'à 256 x 256, et examinons le comportement d'échelle du moment en fonction de la taille. Une analyse conventionnelle de nos données produit des exposants critiques en accord avec ceux obtenus dans des publications antérieures. Les auteurs précédents avaient supposé que ces exposants sont déterminés théoriquement dans la limite de n grand par les liens simplement connectés. Ceci correspond à une hypothèse implicite sur l'ordre des limites pour lequel nous ne trouvons aucuene justification théorique. Nous réanalysons nos données en soustrayant la contribution des liens simplement connectés avant de calculer les moments. Dans la limite du réseau infini, ceci ne peut pas faire de différence mais, sur nos réseaux finis, les exposants critiques apparents sont fortement modifiés. Le problème que nous posons ne peut pas être résolu numériquement. Nous examinons brièvement comment il pourrait être résolu théoriquement.

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).

Key words
lattice theory and statistics -- random processes