J. Phys. France 48, 2067-2079 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:0198700480120206700

Quasiclassical approximations for almost-Mathieu equations

Y.Y. Wang¹, B. Pannetier¹ et R. Rammal<sup>2

1</sup>  Centre de recherches sur les Très Basses Températures, C.N.R.S., BP 166 X, 38042 Grenoble, France
²  At & T Bell Laboratories, Murray Hill, New Jersey 07974, U.S.A.

Abstract
Quasiclassical approximations are used to investigate the edge of the spectrum of almost-Mathieu equations. Two cases are worked in details : the tight-binding model with an applied magnetic field on a square and triangular lattices. It is shown that both approaches lead to identical results. New results, relating the density of states to the shape (local slopes) of the spectrum edge are obtained. In general, close to commensurability, the energy levels exhibit an asymmetry which is a consequence of the existence of a phase holonomy (adiabatic or Berry's phase) in the WKB theory. The possibility of a direct experimental manifestation of this asymmetry, on the magnetic properties of the mixed state of a superconducting network is discussed.

Résumé
On utilise les approximations quasiclassiques pour étudier le bord du spectre des équations presque-Mathieu. Deux cas sont étudiés : modèle des liaisons fortes sous champ magnétique sur le réseau carré et le réseau triangulaire. On montre que les différentes approches donnent des résultats identiques. De nouveaux résultats reliant la densité d'états à la forme du bord du spectre sont démontrés. L'asymétrie des niveaux d'énergie au voisinage d'une commensurabilité est reliée à l'existence d'une phase d'holonomie (phase adiabatique ou phase de Berry) dans la théorie WKB. La possibilité d'une manifestation expérimentale directe de cette asymétrie est discutée dans le cadre de l'état mixte d'un réseau supraconducteur régulier.

PACS
7110 - Theories and models of many-electron systems.
7425O - Mixed states, critical fields, and surface sheaths.

Key words
mixed state -- tight binding calculations -- WKB calculations