Geometrical properties of a Kuhnian polymer chain

Abstract
We calculate the form factor H[q], i.e. the generating function of the gyration radii, and the generating function G [q] of the end-to-end radii, to first order in the dimensionless second viral coefficient g, or in ε = 4 - d, d being the space dimension. These functions are calculated in the asymptotic limit of Kuhnian chains, i.e. very long chains in a good solvent. They are used to determine universal geometrical properties of the Kuhnian chain, like the average gyration radii R G[2n]of order 2 n and average 2 nth powers R [2n] of the end-to-end distance. The universal ratios RG [2n] /R [2n] are calculated and shown to have a regular g or ε-expansion, even for large n. In this approach, one obtains the coefficients of the g expansion as general functions of the dimension d. This allows us to calculate the numerical values of the geometrical quantities either by a pure ε-expansion to first order, setting d = 4 in the coefficients, or, better, in the g-expansion by using the values of the coefficients at d = 3 and the best known value of the Kuhnian fixed point g*. The probability distribution for the internal distances between any two points of the Kuhnian chain is reconsidered, and its normalized universal form is given. In particular we get very simple forms for three limiting cases : 1) the two points form a finite segment inside a very long chain, or 2) a finite segment at the extremity of the very long chain, or 3) are the extremities of the whole chain. We finally compare the form factor H [q] to the experimental data obtained recently by Noda et al. It is shown that in the large q region, it is possible to take into account polydispersity effects and obtain apparently a good agreement between theory and experiments.

Résumé
Nous calculons le facteur de forme H [q] , fonction génératrice des moments du rayon de giration, et la fonction génératrice G[q] des moments de la distance bout à bout, par un développement au premier ordre en g, second coefficient du viriel sans dimension, ou en ε, où ε = 4 - d, d dimension d'espace. Ces fonctions sont calculées dans la limite asymptotique kuhnienne de chaines très longues, en bon solvant. On en déduit des propriétés géométriques universelles de la chaîne kuhnienne, comme les rayons de giration moyens d'ordre 2 n, RG [2n], et les puissances moyennes R [2n], de la distance bout à bout. Les rapports universels RG[2n] /R [2n] , qui sont calculés, ont un comportement régulier dans leur développement en g ou ε, et ce, également pour n grand. Par une approche directe, nous obtenons les coefficients du développement en g, ou ε, comme des fonctions de la dimension d. Nous obtenons ainsi un pur développement en ε, au premier ordre, où les coefficients ont leur valeur à d = 4. Nous obtenons aussi un meilleur développement, en g, où les coefficients ont leur valeur à d = 3, et où g prend sa valeur g* au point fixe kuhnien. La distribution de probabilité de la distance interne entre deux points quelconques de la chaîne kuhnienne est reconsidérée, et nous donnons sa forme universelle normalisée. En particulier, nous obtenons des formes très simples dans trois cas limites, où les deux points 1) forment un segment fini à l'intérieur d'une très longue chaîne ; 2) forment un segment fini à l'extrémité de cette même chaîne ; 3) sont les extrémités de la chaîne entière. Nous comparons le facteur de forme H[q] aux données expérimentales obtenues récemment par Noda et al. Dans la région de grands q, nous montrons qu'en effectuant des corrections du polydispersité, on obtient apparemment un bon accord entre théorie et expérience.