The coexistence of cholesteric and 2-dimensional orders

Abstract
Some solutions of rigid polymers like DNA or PBLG display at the same time cholesteric order and local hexagonal order. The coexistence of two such orders is impossible on long distances. Two cylindrical geometries of molecular arrangements, extending transversally on a distance of the order of the pitch, and achieving a good compromise between these two incompatible tendencies, are studied. Both of them are such that the molecules are parallel to two families of surfaces, i.e. they display 2-d ordering, but still suffer double twist One of the geometries, called below geometry a, seems to apply to recent observations of the chromosome of dinoflagellate [9] ; it is shown that it is favoured when K3 > K1 and that its nucleation is indeed encouraged by the tendency to local 2-d ordering. The other one, b, is the already well-known double twisted structure used as an element of construction of the blue phase. It is favoured when K1 < K3, and it is shown that it nucleates easily when the saddle-splay constant K24 is positive and large enough. These results suggest a new conception of the blue phase as a compromise between cholesteric and nematic order, and shed a new light on the question of BP III, the amorphous blue fog. Finally a curved space description is given of an ordered medium which is at the same time cholesteric and 2-d ordered. This curved space « crystal » generalizes the curved space description of the blue phase and suggests very new and fundamental questions about the nature of the frustration in molten polymers.

Résumé
Risumé. - Certaines solutions de polymères rigides comme l'ADN ou le PBLG sont à la fois cholestériques et, du moins localement, hexagonales. La coexistence de deux tels ordonnancements est incompatible sur de longues distances. On démontre l'existence de deux géométries cylindriques d'arrangements moléculaires qui réalisent un compromis raisonnable entre de telles exigences sur une distance transversale de l'ordre du pas. Ces deux géométries sont telles que les molécules sont, dans chacune d'elles, parallèles à deux families de surfaces : il y a donc à la fois ordre bidimensionnel et double torsion. L'une de ces géométries, dénommée plus bas géométrie a, semble s'appliquer à des observations récentes des chromosomes de dinoflagellés [9] ; elle est favorisée quand K3 > K1 et sa germination est en fait rendue facile par la tendance à l'ordre bidimensionnel local. L'autre géométrie, dénommée b, est déjà bien connue : c'est le cylindre utilisé dans la construction de la phase bleue, où l'arrangement moléculaire subit une double torsion. Cette géométrie est favorisée pour K1 > K3, et germe facilement quand la constante K24 est positive et assez grande. Ces résultats suggèrent une nouvelle conception de la phase bleue, comme résultant d'un compromis entre l'ordre cholestérique et l'ordre nématique, et permettent une nouvelle approche de BP III, la phase bleue amorphe. Finalement on construit un « cristal » d'espace courbe qui satisfait à la fois l'ordre cholestérique et l'ordre bidimensionnel. Ce cristal généralise la description déjà connue de la phase bleue dans un espace courbe et sa considération suggère de nouvelles et très fondamentales questions concernant la nature de la frustration dans les polymères fondus.