Polymers in solutions : principles and applications of a direct renormalization method

Abstract
The configurational properties of long polymers in solution can be conveniently studied by using a direct renormalization method, recently introduced by the author. This method is described here in detail and applied to the two parameter model. The indices γ, ν and ω are calculated directly to second order in ε = 4 - d, where d is the space dimension. As expected, these expansions coincide with the expansions of the indices γ, ν and ω of the zero-component Landau-Ginzburg-Wilson field theory. The formalism may describe monodisperse or polydisperse ensembles and leads directly to scaling equations. The second virial coefficient, expressed in terms of a scaling length which is the end to end distance of an isolated polymer, has been exactly calculated, for a monodisperse system to second order in ε. The ratio of the radius of gyration to the end to end distance is calculated to first order in ε ; the result obtained is in agreement with the value calculated by T. Witten and L. Schäfer using field theory. The dependence of the expansion factor and of the virial coefficient, with respect to the interaction in the cross over domain, are studied to order ε2. An expression is also given for the entropy of an isolated chain.

Résumé
Les propriétés des configurations de longs polymères en solution peuvent être commodément étudiées à l'aide d'une méthode de renormalisation directe récemment introduite par l'auteur. Cette méthode est décrite ici en détail et appliquée au modèle à deux paramètres. Les indices γ, ν et ω sont calculés directement au deuxième ordre en ε = 4 - d où d est la dimension de l'espace. Comme attendu, ces développements coincident avec les développements des indices γ, ν et ω de la théorie des champs de Landau-Ginzburg-Wilson à zéro composante. Le formalisme peut décrire des ensembles monodisperses ou polydisperses et conduit directement aux lois d'échelle. Le second coefficient du viriel, exprimé en choisissant pour échelle la taille d'un polymère isolé, est calculé exactement, pour un système monodisperse, au deuxième ordre en ε. Le rapport du rayon de giration à la distance bout à bout est calculé dans la limite de longues chaînes au premier ordre en ε ; le résultat obtenu est en accord avec la valeur calculée par T. Witten et L. Schäfer en utilisant la théorie des champs. Les variations du gonflement et du second coefficient du viriel dans le domaine de raccordement sont étudiées à l'ordre ε2. On donne aussi une expression pour l'entropie d'une chaîne isolée.