Nonlinear reversible hydrodynamics of liquid crystals and crystals

Abstract
The unified nonlinear reversible hydrodynamics of nematics, crystals, smectics A, cholesterics and smectics C is presented. Besides the expected but nonetheless new convective terms, additional nonlinear contributions are obtained in the stress tensor and in the equation for the hydrodynamic variables characterizing the broken symmetries. A brief section treats nematic liquid crystals. The results found are in agreement with previously derived theories. Then we discuss crystals. Next smectics A are considered including the examination of terms which describe rotations of the director. The influence of an external magnetic field is discussed as well. The hydrodynamic treatment of cholesterics is described, where special emphasis is laid on the investigation of the differences between smectics A and cholesterics. Finally the nonlinear hydrodynamics of smectics C is given. The equations show numerous nonlinear contributions reflecting the different broken symmetries of smectics C and the interplay between them. As a quite remarkable fact the dependence of these nonlinear coefficients on all scalar quantities present in smectics C is established. This has been done for the other presented systems as well but those have less scalars illustrating once more the special role played by smectics C as a biaxial system. In order to apply the presented theory to specific problems it is, of course, necessary to supplement the nonlinear reversible hydrodynamic equations by irreversible contributions derived e.g. by Martin, Parodi and Pershan ; de Gennes; Moritz and Franklin.

Résumé
La théorie hydrodynamique unifiée, non linéaire réversible des cristaux liquides nématiques, des cristaux, des smectiques A, des cholestériques et des smectiques C est présentée. A côté des contributions convectives qui sont attendues mais néanmoins nouvelles, des termes non linéaires sont obtenus dans le tenseur des contraintes et dans l'equation pour les variables hydrodynamiques qui caractérisent les symétries dérangées. Un bref résumé est donné pour les nématiques. Les résultats sont conformes avec les théories données plus tôt. Après cela nous discutons le cas des cristaux. Après les smectiques A, nous recherchons les termes qui décrivent les rotations du directeur. L'influence d'un champ magnétique extérieur est discutée aussi. Le traitement hydrodynamique des cholestériques est décrit en insistant sur les différences entre les cristaux liquides smectiques A et les cholestériques respectivement. Finalement la théorie hydrodynamique non linéaire des smectiques C est donnée. Les équations montrent des contributions non lineaircs nombreuses reflétant les symétries brisées différentes des smectiques C et l'interaction entre elles. Comme un fait remarquable la dépendance de ces coefficients non linéaires sur toutes les quantités scalaires qui sont présentes dans les smectiques C est établie, Ceci a été fait également pour les autres systèmes présentés, mais ceux-ci possèdent moins de quantités scalaires ce qui montre encore une fois le rôle spécial joué par les smectiques C comme un système biaxial. Pour une application de la théorie présentée sur des problèmes spécifiques il est, naturellement, nécessaire d'ajouter des contributions irréversibles, calculées par exemple par Martin, Parodi, Pershan, de Gennes, Moritz et Franklin aux équations hydrodynamiques non linéaires revcrsibles.