J. Phys. France 38, 887-895 (1977)
DOI: 10.1051/jphys:01977003808088700

The crossing of defects in ordered media and the topology of 3-manifolds

V. Poenaru¹ et G. Toulouse<sup>2

1</sup>  Université Paris-Sud, Département de Mathématiques, 91405 Orsay, France
²  Ecole Normale Supérieure, Laboratoire de Physique, 24, rue Lhomond, 75231 Paris, France

Abstract
This investigation is a first step in the study of the topological obstructions involved in deforming the defects of ordered media; it belongs to the framework of the recent physical theories which classify stable defects in terms of the homotopy groups of a certain manifold V, characteristic for the given type of order. In particular, it is shown here that the only obstruction for having two defect lines in a 3-dimensional sample cross through each other, without getting entangled, is a certain commutator in the fundamental group of V. This represents a qualitatively new phenomenon as far as the behaviour of certain materials (with non-commutative π1 V), some still to be synthesized, is concerned ; it also asks for a revision of certain traditional concepts in the physical theory of condensed matter. The present paper contains a rigorous mathematical framework for the description of non-commutative defects, a discussion of some physical applications and some open problems.

Résumé
Ce travail est un premier pas dans l'étude des obstructions topologiques pour déformer les défauts des milieux ordonnés. 11 s'inscrit dans la ligne des théories physiques récentes qui classifient les défauts en termes de groupes d'homotopie d'une certaine variété V, caractéristique pour l'ordre en question. On montre ici que 1 seules obstructions pour le croisement des lignes de défaut, dans un échantillon 3-dimensionnel, sont les commutateurs dans le groupe fondamental de V. Ceci est un phénomène qualitativement nouveau pour une certaine classe de matériaux, à π1 V non commutatif, qu'on espère voir synthétisés bientôt. Il en résulte aussi la nécessité d'une révision de certains concepts traditionnels dans la physique de la matière condensée. Le présent travail contient un cadre mathématique rigoureux pour la description des défauts non commutatifs, une discussion des applications physiques, ainsi que quelques problèmes ouverts.

PACS
0240 - Geometry, differential geometry, and topology.
6172 - Defects and impurities in crystals; microstructure.

Key words
crystal defects -- topology