Numéro
J. Phys. France
Volume 45, Numéro 1, janvier 1984
Page(s) 1 - 27
DOI http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019840045010100
J. Phys. France 45, 1-27 (1984)
DOI: 10.1051/jphys:019840045010100

Zeros of covariant vector fields for the point groups : invariant formulation

M.V. Jaric1, 2, L. Michel1 et R.T. Sharp1

1  Institut des Hautes Etudes Scientifiques, 35, Route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France
2  Freie Universitat Berlin, Institute for Theoretical Physics. Present Address : Physics Dept, Montana State University, Bozeman, Montana 59717, U.S.A.


Abstract
All finite as well as infinite (matrix) point subgroups of full orthogonal groups in two and three dimensions are considered. For each point group a polynomial integrity basis for invariants and the basic polynomial vector fields are first given. Then, the strata are defined via equations and inequalities involving the integrity basis. Finally, equations for zeros of a covariant vector field are given on each stratum in terms of the integrity basis, which appears via coefficients in the expansion of the vector field on the vector-field basis. All the results are tabulated and an illustration using the cubic group is presented. Mathematical background sufficient for extensions of the results is also given.


Résumé
Pour tous les groupes ponctuels (sous-groupes fermés) finis ou continus des groupes orthogonaux 0(2) et 0(3) nous donnons une base d'intégrité θi(x), φβ(x) eσ(x) pour les polynômes invariants et pour les champs de vecteurs polynomiaux, nous donnons les équations et inégalités définissant les strates (union des orbites de même type). Finalement, nous écrivons des équations donnant les zéros d'un champ de vecteurs covariants sur une strate donnée; ces équations sont linéaires dans les composantes (invariantes) du champ de vecteurs sur les eσ(x), les coefficients de ces termes étant eux-mêmes des invariants. Tous ces résultats sont résumés dans des tables et illustrés par un exemple d'application physique de symétrie cubique. La méthode mathématique pour obtenir ces résultats est expliquée de façon à permettre au lecteur de l'appliquer à d'autres groupes.

PACS
0220 - Group theory.

Key words
classical field theory -- group theory -- vectors