Fully developed turbulence and statistical mechanics

Abstract
This paper gives a self contained review of some recent progress of the statistical theory of fully developed turbulence. The emphasis is on both analogies and differences with Hamiltonian statistical mechanics, in particular critical phenomena. The method of spectral equations, which plays to a certain extent the role of a mean field theory, is discussed in detail. It is here viewed as a reformulation of the Kolmogorov 1941 theory leading to quantitative insight into the energetics of turbulence (power-law spectra, direct and inverse energy cascades, energy dissipation in the limit of zero viscosity, etc.). In addition, it sheds light on the proven and conjectured properties of the Navier-Stokes and Euler equations which are reviewed in terms more accessible than those of the mathematical literature. There are strong experimental indications (intermittency) that the Kolmogorov 1941 theory is only approximate. Some of the current efforts to handle higher than second order statistics by formal methods inspired from quantum field theory or critical phenomena are also discussed.

Résumé
Cet article passe en revue quelques progrès récents en théorie statistique de la turbulence développée. L'accent est mis sur les analogies mais aussi les différences avec la mécanique statistique hamiltonienne, en particulier les phénomènes critiques. La méthode des équations spectrales qui joue un peu le rôle d'une théorie du champ moyen est discutée en détail. Elle est présentée comme une reformulation de la théorie de Kolmogorov de 1941, permettant d'étudier l'énergétique de la turbulence (spectres en loi de puissance, cascades d'énergie directes et inverses, dissipation d'énergie dans la limite de viscosité nulle...). En outre cette méthode éclaire de façon intéressante les résultats tant démontrés que conjecturés sur les équations de Navier-Stokes et d'Euler que l'on passe en revue en termes plus accessibles que dans la littérature mathématique. Il existe de fortes indications expérimentales (intermittence) que la théorie de Kolmogorov de 1941 n'est en fait qu'une première approximation. Certains des efforts actuels pour prendre en compte des grandeurs statistiques au-delà du second ordre, au moyen de techniques formelles inspirées de la théorie quantique des champs ou des phénomènes critiques, sont aussi discutés.