J. Phys. France 51, 587-609 (1990)
DOI: 10.1051/jphys:01990005107058700

Theory of random multiplicative transfer matrices and its implications for quantum transport

J.-L. Pichard¹, N. Zanon¹, Y. Imry^{2, 3} et A. Douglas Stone<sup>4

1</sup>  Service de Physique du Solide et de Résonance Magnétique, CEA Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
²  Department of Nuclear Physics, Weizmann Institute of Science, Rehovot 76100, Israel
³  I.B.M. Thomas J. Watson Research Center Yorktown Heigths, NY 10598, U.S.A.
⁴  Applied Physics, Yale University, New Haven, CT 06520, U.S.A.

Abstract
The two-probe conductance, g, of a disordered quantum system with N tranverse scattering channels is determined by N real parameters ("levels") {λi} characterizing the transfer matrix M. The appropriate measure for M combined with a "global" maximum entropy hypothesis, leads to a joint distribution for these levels of the same form as the standard random matrix ensembles, except for the occurence of a novel behavior of the level density ρ(λ), which is far from uniform, and depends importantly on the system parameters. We study this density and its implications for conductance fluctuations in detail, showing that the novel behavior of this ensemble stems from the multiplicative composition law for M. For fixed N, as the system length Lz → oo it is the αi ~(1/2Lz) ln λ i (which converge to the Lyapunov exponents of M) that have an approximately uniform density. Using this density we develop a Coulomb gas analogy to understand analytically the change in the level and conductance statistics which accompanies the transition from metallic to localized behavior. The metallic regime corresponds to the high-density "phase" of the gas, with statistics similar to standard, logarithmically-correlated ensembles except for the appearance of an "interaction" with image charges near the origin; this leads to a normal distribution p(g) with a universal variance. Possible mechanisms for the occurrence of lognormal tails in the metallic regime are discussed. The localized regime corresponds to a low-density "phase" in which the levels fluctuate independently and the conductance is lognormally distributed with <(δln g)2> ~ 2/g0 where g0 = N l/Lz is the classical conductance and l is the elastic man free path. The consequences of the Coulomb gas analogy for both the conductance and level statistics are confirmed by independent numerical calculations. In our theory, the distribution p(g) depending only on p(A), we study in a second part of this work the finite-size scaling properties of ρ(λ) to address the question of one-parameter scaling. First we generalize for each level α i the scaling law obtained for the disordered chain. Then we show that the convergence of each αi towards their quasi-one dimensional limit (N fixed, Lz → oo) depends only on the average conductance (g) in the range of investigated parameters. However, we cannot rule out a dependence on the index i of the scaling functions which would introduce additional scaling parameters for p(g).

Résumé
En régime quantique cohérent, la conductance g d'un système désordonné possèdant N canaux de diffusion est déterminée par N paramètres réels ("niveaux") {λi} qui caractérisent sa matrice de transfert M. La mesure adéquate pour M, combinée avec une hypothèse d'entropie maximum "globale", conduit à une loi de distribution de ces niveaux identique à celle des ensembles de matrices aléatoires classiques, si l'on excepte la présence d'un comportement nouveau de la densité de niveaux ρ(λ), qui est loin d'être uniforme, et dépend de façon significative des paramètres du système. Nous étudions en détail cette densité et ses implications pour les fluctuations de conductance, montrant que le comportement spécifique de cet ensemble résulte de la loi de composition multiplicative de M. Pour N donné et quand la longueur Lz du système augmente, ce sont les αi ~ (1/2Lz)ln(λi) (qui convergent vers les exposants de Lyapunov de M) qui ont une densité essentiellement uniforme. Utilisant cette densité, nous développons une analogie coulombienne pour expliquer le changement des statistiques des niveaux et de la conductance qui accompagne la transition du régime métallique au régime isolant. Le régime métallique correspond à une "phase" de haute densité du gaz de coulomb, avec une statistique identique à celle des ensembles classiques avec interactions logarithmiques, si l'on excepte la présence d'une "interaction" avec des charges images près de l'origine; ceci implique une loi normale pour p(g) avec une variance universelle. Des mécanismes possibles d'apparition de queues lognormales dans le régime métallique sont discutés. Le régime localisé correspond à une "phase" de faible densité où les niveaux fluctuent de façon quasi-indépendante et où la conductance est distribuée de façon lognormale avec <(δln g)2> > 2/g0, go = Nl/Lz étant la conductance ohmique classique et l le libre parcours moyen élastique. Les conséquences de cette analogie coulombienne pour la distribution des fluctuations de niveaux et de conductance sont confirmées par des calculs numériques indépendants. La distribution p(g) n'étant fonction que de ρ(λ) dans notre théorie, nous étudions dans la seconde partie de ce travail les propriétés d'échelle de ρ(λ) afin d'examiner la validité d'une théorie d'échelle à un paramètre. D'abord, nous généralisons pour chacun des niveaux αi les lois d'échelle déjà obtenues pour la chaine désordonnée. Puis nous montrons que la convergence de chacun des αi vers sa limite quasi-unidimensionnelle (N donné, L z → oo) ne dépend que de la conductance moyenne <g>. Nous en concluons que (g) satisfait à une loi d'échelle à un paramètre dans le domaine de paramètres examiné. Cependant, nous ne pouvons exclure que la dépendance en fonction de i des lois d'échelle obtenues n'introduise des paramètres d'échelle supplémentaires pour ρ(g).

PACS
7210 - Theory of electronic transport: scattering mechanisms.
7260 - Mixed conductivity and conductivity transitions.
7130 - Metal insulator transitions and other electronic transitions.
7215R - Localization effects (Anderson or weak localization).

Key words
current fluctuations -- electrical conductivity -- electron gas -- localised electron states -- matrix algebra -- metal insulator transition -- quantum statistical mechanics