J. Phys. France 51, 2431-2447 (1990)
DOI: 10.1051/jphys:0199000510210243100

Topology of the phase in aperiodic crystals

Maurice Kléman

Laboratoire de Physique des Solides , Bât. 510, Université de Paris-Sud, 91405 Orsay Cedex, France

Abstract
The phase degrees of freedom of aperiodic crystals (quasicrystals) are far from being understood. In this paper we study in great detail the geometrical and topological properties of the « phase space » of quasicrystals, for usual quasicrystalline symmetries (icosahedral and pentagonal cases) and for the cases d = 3, d∥ = 1 and d = 4, d ∥ = 2. It is shown that the universal covering of the phase space is a curved crystal of negative Gaussian curvature, whose group of automorphisms contains therefore the fundamental group of the phase space as a subgroup. This fundamental group is calculated in each case. The results do not depend in any way on the choice of the « atomic surface » (the motif) which decorates the hypercubic cell of the high-dimensional crystal from which the quasicrystal is generated. As a consequence, it does not depend on the fact whether the phasons are continuous or not. These investigations constitute a prerequisite for any further study of the topological and geometrical nature of phason strains. Moreover, the homomorphism between the fundamental group of the phase space and the group which classifies the dislocations is discussed. It is indicated, as a preliminary result of a research in progress, that the fundamental group of the phase space classifies the topological phasons.

Résumé
Les degrés de liberté relatifs à la phase des cristaux apériodiques sont loin d'être compris. Dans cet article, nous étudions en grand détail les propriétés géométriques et topologiques de l'espace représentatif de la phase pour des symétries quasicristallines usuelles (icosaédrique et pentagonale) et pour les cas d = 3, d∥ = 1 et d = 4, d ∥ = 2. On montre que l'espace de la phase a pour revêtement universel un cristal d'espace courbe de courbure gaussienne négative ; le groupe fondamental de l'espace de la phase est un sous-groupe du groupe d'automorphismes de ce cristal courbe. Nous le calculons dans chaque cas envisagé. Les résultats ne dépendent en aucune manière du choix et de la « surface atomique » (le motif) qui décore la cellule de base du cristal hypercubique d'où le quasicristal est engendré. En conséquence, ils ne dépendent pas non plus du fait que les phasons sont continus ou discrets. Ces recherches constituent un premier pas nécessaire dans l'étude de la nature géométrique et topologique des déformations du type « phason ». On discute en outre la nature de l'homomorphisme entre l'espace de la phase et le groupe qui classe les dislocations. Finalement nous indiquons sans entrer dans les détails que le groupe fondamental de l'espace de la phase classe les défauts topologiques du type phason.

PACS
6150A - Theory of crystal structure, crystal symmetry; calculations and modeling.
6172B - Theories and models of crystal defects.

Key words
crystal symmetry -- dislocations -- phasons -- quasicrystals