La transformée de Wigner libre, évolution dans une collision

Abstract
This is the first of a series of articles where we develop a theory for the description of the dynamics of dilute quantum gases, at or out of equilibrium, with an accurate treatment of the correlation effects introduced by binary collisions (these correlations are not taken into account when the Boltzmann equation is used). For this purpose, we propose the introduction of a variant of the Wigner transform, the « free Wigner transform », which wipes out the effects of the potential at short distances. If initially factorized, the entering part of the free transform remains exactly so during all collision, so that it is better adapted to a molecular chaos assumption than the ordinary transform. Once the free transform is known, the effects of the short distance correlations can be reconstructed from it. Therefore, the problem is to find an appropriate equation of evolution which gives its time variations. With this aim in mind, we study in the present article the evolution of the free Wigner transform in a binary collision. We show that its evolution equation includes coefficients which can be exactly obtained from the « on shell » terms of the T matrix (S matrix, phase shifts), even while the particles are interacting. In addition to the usual terms which involve the scattering cross sections, as usual with the Boltzmann equation, the calculation provides other terms which correspond to collision retardation effects and « refraction » effects (refraction of the wave function of the test atom by density gradients of the collision partners). These terms will play an important role in the following article, and introduce the second virial corrections to the equilibrium and transport properties of the gas.

Résumé
Le but général de la série d'articles dont celui-ci est le premier est de décrire la dynamique hors d'équilibre des gaz quantiques dilués en tenant compte de façon précise des corrélations binaires entre particules ; ces corrélations sont généralement ignorées dans les approches théoriques du type Boltzmann. Nous proposons pour cela l'utilisation d'une variante de la transformée de Wigner, la transformée de Wigner libre, qui « efface » les corrélations à courte distance créées par le potentiel d'interaction entre particules. Ainsi, chaque fois qu'avant collision la transformée libre était factorisée, une factorisation subsiste rigoureusement pendant toute la collision ; elle se prête donc mieux que la transformée habituelle à une hypothèse de « chaos moléculaire » à la Boltzmann. Une fois connue la transformée libre, les corrélations entre particules peuvent être reconstruites et leurs effets physiques calculés. L'étude de l'évolution de la transformée de Wigner libre dans une collision binaire conduit à des résultats qui s'expriment complètement en fonction des caractéristiques de la matrice T « sur la couche de masse » (matrice S, déphasages), même lorsque les particules sont en train d'interagir. En sus des termes habituels de collision où apparaissent comme dans l'équation de Boltzmann les sections efficaces de collision, le calcul donne des termes dus aux effets de retard, et aux effets « de réfraction » dans la collision. Ces termes joueront un rôle essentiel dans l'équation cinétique proposée dans l'article suivant, et dans les corrections du viriel aux propriétés d'équilibre et de transport du gaz.