J. Phys. France 49, 1111-1118 (1988)
DOI: 10.1051/jphys:019880049070111100

Inflationary character of Penrose tilings

Yuval Gefen¹, Maurice Kléman², Andrdi Pavlovitch³ et Jacques Peyrière<sup>4

1</sup>  Department of Nuclear Physics, the Weizmann Institute of Science, Rehovot, 76100 Israel
²  Laboratoire de Physique des Solides, associé au CNRS, Université de Paris-Sud, bâtiment 510, 91405 Orsay, France
³  Section de Recherches de Métallurgie Physique, Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, 91191 Gif sur Yvette Cedex, France
⁴  Laboratoire de Mathématiques, Université de Paris-Sud, bâtiment 425, 91405 Orsay, France

Abstract
The inflation of Penrose tilings is described by means of Transfer Matrices of Fractals (TMFs) which emphasize the self-similar nature of these aperiodic tilings. The related eigenvalues and eigenvectors are explicitly calculated for Penrose tilings employing six elementary shapes and for another Penrose-like family (with nine shapes), which includes both deterministic and non-deterministic tilings. Average iteration properties and their geometrical interpretation are discussed. We also study a special type of inflated defects in a deterministic Penrose tiling. These defects are the result of a mismatch between the tiles, introduced at a certain iteration stage and then inflated iteratively. Assuming that the expression of the energy cost for such defects includes a term which is a linear function of the shapes densities, we show that the energy of a defective region of linear size R may scale as Rf, where f < 2 is a non trivial exponent. In certain cases, f is larger than the canonical value 1.

Résumé
On décrit les propriétés d'inflation des pavages de Penrose à l'aide des matrices de transfert de fractals (TMF) qui mettent l'accent sur la nature auto-similaire de ces pavages apériodiques. Nous calculons explicitement les valeurs propres et les vecteurs propres correspondants, dans les cas d'un pavage à six tuiles élémentaires et d'une famille de pavages à neuf tuiles élémentaires, certains étant déterministes, d'autres ne l'étant pas. Nous discutons et interprétons géométriquement leurs propriétés d'itération. Nous étudions aussi un type spécial de défauts d'inflation des pavages déterministes, qui sont le résultat d'un défaut d'accolement entre tuiles, introduit à un certain niveau d'itération, l'itération étant poursuivie par la suite. En supposant que l'expression du coût en énergie de ces défauts comprend un terme linéaire en les densités des diverses tuiles, nous montrons que l'énergie d'une région fautée de taille R est en Rf, où f < 2 est un exposant non-trivial. Dans certains cas, f est plus grand que la valeur canonique 1.

PACS
0550 - Lattice theory and statistics (Ising, Potts, etc.).
6150 - Crystalline state.

Key words
fractals -- lattice theory and statistics -- quasicrystals