J. Phys. France 48, 733-740 (1987)
DOI: 10.1051/jphys:01987004805073300

Lyapounov exponents of products of random matrices : weak disorder expansion. - Application to localisation

B. Derrida¹, K. Mecheri² et J.L. Pichard<sup>3

1</sup>  Service de Physique Théorique, CEN-Saclay, 91191 Gif sur Yvette, France
²  Laboratoire de Physique Statistique, Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene, Dar El Beida, BP 9 Alger, Algérie
³  Service de Physique du Solide et de Résonance Magnétique, CEN-Saclay, 91191 Gif sur Yvette, France

Abstract
We derive the weak disorder expansion of the Lyapounov exponents of a product of random matrices. The condition for this expansion to be valid is that in the limit of zero disorder, the matrix has all its eigenvalues with different moduli. As an example we study the problem of localisation on strips in the limit of weak disorder. We show that our expansion agrees very well with numerical simulations in the region where the condition on the moduli is satisfied which corresponds to energies outside the conduction band. In that region, we find a limiting density of Lyapounov exponents when the strip width goes to infinity. Inside the band, our expansion cannot be valid unless one adds an imaginary part to the energy.

Résumé
Nous donnons le développement de faible désordre des exposants de Lyapounov d'un produit de matrices aléatoires. Ce développement est valide quand les valeurs propres de la matrice en l'absence de désordre ont toutes des modules différents. En illustration, nous étudions la localisation des électrons sur des rubans dans la limite du faible désordre. Nous montrons que notre développement est en bon accord avec des calculs numériques quand la condition sur les modules est satisfaite, ce qui correspond à des énergies en dehors de la bande de conduction du système pur. Pour ces énergies, nous obtenons une densité limite des exposants de Lyapounov quand la largeur du ruban augmente. A l'intérieur de la bande, notre développement n'est valide que si une partie imaginaire est ajoutée à l'énergie.

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, noise, and Brownian motion.
0560 - Transport processes.

Key words
lattice theory and statistics -- Lyapunov methods -- random processes