The double twist connection and the S3 blue phase

Abstract
Blue phases are frustrated systems characterized by a local constraint of double twist described mathematically in terms of connection. We give a rigourous construction of such a connection on any Riemannian 3-manifold using the Levi-Civita connection. We apply it to the S3 sphere on which frustration is relieved. Using the isomorphism between S3 and the unit quaternion group, we show that the S3 blue phase can be considered as a nematic phase in the Lie algebra of this group. This description enables an easy classification of defects in terms of homotopy theory.

Résumé
Les phases bleues sont des systèmes frustrés avec une contrainte locale de double twist, décrite mathématiquement par une connexion. Nous donnons une construction de cette connexion, valable sur n'importe quelle variété Riemanienne de dimension 3 à partir de la connexion de Levi-Civita. En particulier nous explicitons cette construction sur S3 sur laquelle la condition de double twist peut être réalisée en tout point. Nous montrons à l'aide de l'isomorphisme entre S3 et le groupe des quaternions unitaires que la phase bleue sur S3 peut être vue comme un nématique dans l'algèbre de Lie de ce groupe. Cette description permet de classifier facilement certains défauts à l'aide de la théorie de l'homotopie.