Critical amplitudes of Edwards' continuous polymer chain model

Abstract
We investigate the ε-expansion of the critical amplitudes associated with Edwards' two-parameter model describing interacting continuous polymer chains in d dimensions ( d = 4 - ε). For any dimensionless quantity H (z,ε), which is a function of the Zimm et al.-Yamakawa parameter z and of ε only, and which scales for z → ∞, like H ( z, ε) = A ( ε) Zσ ( ε) , where σ (ε) is a critical exponent, we give a simple method for calculating the critical amplitude A as a function of ε. We show that in general A (ε )= [h(ε)]-σ(s), where h (ε) has an ε-series expansion, which we calculate to second order in ε. This holds true for the general case where σ (ε) starts like a non vanishing constant, i.e. σ(ε) = O (1) . If σ (ε) =O (εn), then the critical amplitude A (ε) reads A (ε) . = [h[n] (ε)]-σ(ε)/εn , where, again, h [n] (ε) has a well-defined ε-expansion, which we calculate to second order. We apply these results to calculate the critical amplitude of the general connected partition function Z N of N chains, N ≽ 1. The critical amplitudes of the end-to-end and of the gyration swellings of a single polymer chain are also calculated. We compare the asymptotic end-to-end swelling with former numerical results for continuous polymer chains. The asymptotic expansion of the entropy of a long continuous polymer chain is given.

Résumé
Nous étudions le développement en ε des amplitudes critiques associées au modèle d'Edwards à deux paramètres, qui décrit des chaînes polymères continues en interaction à d dimensions ( d = 4- ε) . Pour toute quantité sans dimension H (z, ε), fonction du paramètre de Zimm et al. -Yamakawa z, et de ε, et qui varie pour z → ∞ comme H (z, ε) = A (ε) zσ (ε), où σ (ε) est un exposant critique, nous donnons une méthode simple pour calculer l'amplitude critique A comme fonction de ε. Nous montrons qu'en général A (ε) = [h (ε)]-σ (ε), où h (ε) possède un développement en série de ε, que nous calculons au second ordre en ε. Ceci est vrai pour le cas général où σ (ε) commence comme σ (ε) = O (1) . Si σ (ε) =O (εn), alors l'amplitude critique A (ε) s'écrit A (ε) = [h [ n] (ε)]-σ(ε)/εn, où, à nouveau, h[n] (ε) possède un développement en série de ε, que nous calculons au second ordre. Nous appliquons ces résultats au calcul de l'amplitude critique de la fonction de partition connexe ZN de N chaînes, N ≽ 1. Nous calculons aussi les amplitudes critiques des facteurs de gonflement d'une chaîne polymère isolée. Nous comparons le facteur de gonflement asymptotique associé à la distance bout à bout, avec des résultats numériques obtenus antérieurement pour des chaînes polymères continues. Le développement asymptotique de l'entropie d'une longue chaîne continue est calculé.