J. Phys. France 47, 15-22 (1986)
DOI: 10.1051/jphys:0198600470101500

Gradient governed growth : the effect of viscosity ratio on stochastic simulations of the Saffman-Taylor instability

J.D. Sherwood et J. Nittmann

Etudes et Fabrication Dowell Schlumberger, B.P. 90,42003 St-Etienne, France

Abstract
We report numerical simulations related to two-fluid flow in porous media. We assume that Darcy's law holds for the flow of each of the two fluids, one of which we are injecting into the porous medium, the other being that displaced. We therefore initially solve Laplace's equation for the pressure. At each time step we then advance the interface between the two fluids by a discrete step at a single point chosen with probability proportional to the pressure gradient. We examine the full range of viscosity ratios, covering both stable and unstable cases, and measure the rate of growth of the length of the interface between the two fluids. When the viscosity of the injected fluid is low compared with that of the fluid which is being displaced, the predicted fingering instability is similar to results obtained via the Witten and Sander model of diffusion limited aggregation. As the viscosity of the injected fluid increases, the fingers become thicker and they grow more slowly in length.

Résumé
Nous proposons un modèle stochastique pour simuler l'écoulement de deux fluides dans un milieu poreux. Nous supposons que la loi de Darcy est valable pour décrire les écoulements de chacun des deux fluides, l'un étant injecté dans le milieu et l'autre déplacé par ce dernier. A chaque pas de temps, nous résolvons numériquement l'équation de Laplace, afin d'obtenir les valeurs du champ de pression. Ensuite, l'interface entre les fluides est déplacée d'un pas constant en un seul point, choisi avec une probabilité proportionnelle au gradient de pression. Nous examinons la gamme complète des contrastes de viscosité entre les deux fluides, couvrant ainsi les cas d'écoulements stables et instables. Nous mesurons dans chaque cas la vitesse de croissance de la longueur de l'interface. Lorsque la viscosité du fluide injecté est faible devant celle du fluide déplacé, le modèle prédit le développement d'une instabilité de l'interface sous forme de digitations, comparable aux résultats donnés par le modèle d'agrégation par diffusion limitée proposé par Witten et Sander. Si l'on augmente la viscosité du fluide injecté, l'épaisseur des digitations augmente et leur croissance en longueur est moins rapide.

PACS
4755M - Flows through porous media.
4755K - Multiphase and particle-laden flows.
4720 - Hydrodynamic stability.

Key words
flow instability -- flow simulation -- flow through porous media -- stochastic processes -- two phase flow