J. Phys. France 45, 1843-1857 (1984)
DOI: 10.1051/jphys:0198400450120184300

Chaos, pseudo-random number generators and the random walk problem

D. Sornette¹ et A. Arneodo<sup>2

1</sup>  Equipe de Physique des Liquides, Université de Nice , Parc Valrose, 06034 Nice Cedex, France
²  Equipe de Physique Théorique, Université de Nice , Parc Valrose, 06034 Nice Cedex, France

Abstract
To test the nature of the deterministic chaos generated by the iteration of discrete dynamical systems, we perform Monte-Carlo random walk experiments on a one-dimensional periodic lattice with a trapping site using the logistic map as a generator of pseudo-random numbers. Comparison with analytical results derived for asymmetric and also for weakly non-Markovian random walks lend strong experimental support to the conjecture that sensitive dependence on the initial conditions implies for the map the existence of an absolutely continuous invariant measure with respect to Lebesgue's measure.

Résumé
Nous proposons un test expérimental de la nature du chaos engendré par l'itération de systèmes dynamiques discrets en développant des simulations de Monte-Carlo de marches aléatoires sur un réseau unidimensionnel périodique contenant un site absorbant. Nous considérons en particulier l'application logistique comme un générateur de nombres pseudo-aléatoires. La comparaison avec des résultats analytiques généralisés aux cas de marches asymétriques et de marches faiblement non markoviennes apporte de fortes évidences expérimentales de la validité de la conjecture selon laquelle la sensibilité sur les conditions initiales implique, pour l'application, l'existence d'une mesure invariante absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.

PACS
0540F - Random walks and Levy flights.
0545 - Nonlinear dynamics and nonlinear dynamical systems.

Key words
chaos -- lattice theory and statistics -- Monte Carlo methods -- random processes