J. Phys. France 43, 1733-1742 (1982)
DOI: 10.1051/jphys:0198200430120173300

A new real-space formulation of crystal properties in closed form

Ph. Audit

Laboratoire P.M.T.M., Université Paris-Nord, avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France

Abstract
As a new approach to describe perfect crystal properties, the mathematical study of cyclic matrices initiated recently [J. Physique 42 (1981) 903] by the author is pursued in the present article. A very natural formulation of vibrational, electronic, magnetic... crystal properties is offered by calculating the elements of some functions of interatomic interaction matrices, whose dimensions are infinite. These functions can be handled by a drastic reduction of the matrix variable order, which is based on relations linking cyclic matrices and orthogonal polynomials. Exact expressions are obtained in the form of multiple integrals. They are valid for functions describing experimentally measured properties, any thermodynamic function, Green's function, density of states, etc. Their derivation does not require a prior spectral analysis of the problem. A detailed study of the density of states is undertaken, and a simple closed expression is given for this quantity.

Résumé
Afin d'élaborer une nouvelle méthode pbur décrire les propriétés du cristal parfait, une étude mathématique des matrices cycliques a été récemment entreprise [J. Physique 42 (1981) 903] par l'auteur qui la poursuit dans le présent article. Le calcul des éléments de certaines fonctions de matrices d'interaction interatomique, de dimension infinie, constitue une méthode naturelle pour décrire les propriétés vibrationnelles, électroniques, magnétiques... du cristal. On montre que ces fonctions peuvent être calculées par une réduction considérable de l'ordre de la variable matricielle, basée sur les relations qui relient les matrices cycliques et certains polynômes orthogonaux. Des expressions exactes peuvent être ainsi obtenues sous la forme d'intégrales multiples, pour les fonctions qui décrivent des propriétés mesurables, des fonctions thermodynamiques, la fonction de Green, la densité d'états... La méthode ne requiert pas une analyse spectrale préalable du problème. On donne en particulier des expressions de la densité d'états locale et totale.

PACS
6150 - Crystalline state.
6310 - General theory.
7110 - Theories and models of many-electron systems.

Key words
crystal properties -- electronic density of states -- lattice dynamics -- matrix algebra