An investigation of finite size scaling

Abstract
Calculations on finite (or partially finite) systems, such as Monte-Carlo simulations or the diagonalization of a finite transfer matrix, are often extrapolated to the thermodynamic limit by the use of scaling assumptions involving the finite sizes L of the system. It is shown here that these finite size scaling laws follow from the fact that : i) in the renormalization group flow equations the length L is not renormalized ; ii) there is no singularity at the fixed point. This second property fails in four (and above four) dimensions and finite size scaling does not hold there. An illustration of these points is presented, with detailed calculations of the large N limit of the N- vector model. As a consequence, the ε-expansion of finite size scaling properties is singular.

Résumé
De nombreux calculs sur les systèmes finis (ou partiellement infinis), les simulations numériques par la méthode de Monte-Carlo par exemple ou bien la diagonalisation de matrices de transfert finies, sont extrapolés à la limite thermodynamique à l'aide d'hypothèses où les dimensions finies L du système sont incorporées dans des lois d'échelle. Nous montrons ici que ces relations de similitude où apparait L sont la conséquence des deux faits suivants : (i) dans les équations de groupe de renormalisation la longueur L n'est pas renormalisée ; (ii) il n'y a pas de singularité au point fixe du groupe de renormalisation. Or un examen plus attentif montre que cette deuxième propriété est en défaut à quatre (et au-dessus de quatre) dimensions, et qu'en conséquence les relations de similitude n'y sont pas vérifiées. Pour illustrer le phénomène nous présentons des calculs détaillés relatifs à un modèle de vecteurs classiques à N composantes résolu dans la limite où N tend vers l'infini. Nous montrons également qu'en dessous de quatre dimensions le développement en ε = 4 - d, des fonctions qui apparaissent dans les lois d'échelle est singulier.