Exact solution of the 2D « brickwork » Ising model with second neighbour interactions in the horizontal direction

Abstract
Boehm and Bak [11] have analysed, within the mean field approximation, a model which leads to a phase diagram including multiple phase transitions between commensurate phases. It happens that an exactly soluble two-dimensional Ising model exhibiting similar mean field features, is available. This model is built on a brickwork lattice, and its exact partition function is obtained within the following assumptions : i) In the vertical direction, nearest neighbours are coupled by ferromagnetic interactions 2 J' (J' > 0). ii) In the horizontal direction, nearest neighbours are coupled by ferromagnetic interactions J (J > 0) while nextnearest neighbours are coupled by arbitrary interactions J2. Results are discussed with respect to the value of the ratio J2/J. It is found in particular that : 1) For J2/J > - 1/2, the system orders ferromagnetically at a critical temperature Tc = 1/kB βc defined by tanh 2 βc J'. sinh 2 βc J. exp 4 βc J 2 = 1. 2) For J2/J ≤ - 1/2, no ordering occurs even at zero temperature. Ground states and their degeneracy are examined. These results are compared with those obtained for the same system in the mean field approximation, which predicts the existence of a devil's staircase behaviour for the periodicity versus temperature curve, and with those given for the two-dimensional ANNNI model by a recent Monte-Carlo study [13].

Résumé
Boehm et Bak [11] ont analysé, dans l'approximation de champ moléculaire, un modèle qui conduit à un diagramme de phases où figurent des transitions multiples entre phases commensurables. Il se trouve qu'un modèle d'Ising bidimensionnel, présentant les mêmes propriétés en champ moléculaire, peut être résolu exactement. Ce modèle est construit sur un réseau en mur de briques, et sa fonction de partition est calculée dans le cadre des hypothèses suivantes : i) Dans la direction verticale, les premiers voisins sont couplés par des interactions ferromagnétiques 2 J' (J' > 0). ii) Dans la direction horizontale, les premiers voisins sont couplés par des interactions ferromagnétiques J (J > 0) et les seconds voisins sont couplés par des interactions arbitraires J2. Les résultats sont discutés en fonction du paramètre J2/J. On trouve en particulier que : 1) Pour J2 /J > - 1/2, le système s'ordonne ferromagnétiquement à une température critique Tc = 1/kB βc définie par tanh 2 βc J'. sinh 2 βc J. exp 4 βc J2 = 1. 2) Pour J2/J ≤ - 1/2, aucune phase ordonnée n'apparaît, même à température nulle. Les états fondamentaux et leur dégénérescence sont examinés. Les résultats obtenus sont comparés avec ceux donnés par traitement de champ moléculaire qui prédit l'existence d'un escalier du diable, et avec ceux fournis par une étude Monte-Carlo récente pour le modèle ANNNI bidimensionnel [13].