J. Phys. France 42, 1491-1504 (1981)
DOI: 10.1051/jphys:0198100420110149100

Generalization of the Fermi-Segrè formula

N. Fröman et P.O. Fröman

Institute of Theoretical Physics, University of Uppsala, Thunbergsvägen 3, 752 38 Uppsala, Sweden

Abstract
A generalization of the non-relativistic Fermi-Segrè formula into a formula which is valid also for angular momentum quantum numbers 1 différent from zero, is derived by means of a phase-integral method. The formula thus obtained, which gives an expression for the limit of u(r)/rl+ 1as r → 0, where u(r) is a normalized bound-state radial wavefunction, in terms of the derivative of the energy level En' with respect to the radial quantum number n', is an improvement and generalization of a formula which has been obtained by M. A. Bouchiat and C. Bouchiat. It reduces to their formula for a particular class of potentials and highly excited states with not too large values of l, and it reduces to the Fermi-Segrè formula when l = 0. The accuracy of our formula, as well as that of the Bouchiat-Bouchiat formula, is investigated by application to an exactly soluble model. The formula obtained can also be written in another form by replacing dEn'/d n' by an expression involving a closed-loop integral in the complex r-plane (around the generalized classical turning points), the integrand being a phase-integral quantity expressed in terms of the potential in which the particle moves. It is also shown that the exact value of the limit of u(r)/rl+1 as r → 0 can be expressed as an expectation value of a certain function depending on the physical potential V(r) and r as well as on l and En,.

Résumé
Par l'usage d'une méthode d'intégrale de phase nous obtenons une généralisation de la formule non-relativiste de Fermi-Segrè en une formule qui est valable aussi pour des valeurs du nombre quantique l du moment cinétique orbital différentes de zéro. La formule ainsi obtenue, qui exprime la limite de u(r)/nl+1 quand r → 0, où u(r) est la fonction d'onde radiale normalisée d'un état lié, par la dérivée du niveau d'énergie En' par rapport au nombre quantique radial n', est une amélioration et une généralisation d'une formule obtenue par M. A. Bouchiat et C. Bouchiat. Elle se réduit à leur formule pour une classe particulière de potentiels et d'états très excités correspondant à des valeurs de l pas trop grandes, et elle se réduit à la formule de Fermi-Segrè quand, pour un système atomique ou ionique, l = 0. Nous examinons la précision de notre formule, ainsi que celle de la formule de Bouchiat-Bouchiat, par l'application à un modèle exactement soluble. On peut aussi écrire notre formule sous une autre forme en remplaçant dEn'/dn' par une certaine intégrale le long d'une courbe fermée (autour des points limites généralisés du mouvement classique) dans le plan complexe r. Cette intégrale dépend du potentiel physique V(r) dans lequel la particule se déplace, ainsi que des dérivées de ce potentiel par rapport à r. Nous montrons aussi que l'on peut exprimer la valeur exacte de la limite de u(r)/r l+1 quand r → 0 comme la valeur moyenne d'une certaine fonction dépendant du potentiel physique V(r) et r ainsi que de l et En'.

PACS
0365G - Solutions of wave equations: bound states.
3115 - Calculations and mathematical techniques in atomic and molecular physics (excluding electron correlation calculations).

Key words
orbital calculation methods -- quantum theory -- Schrodinger equation