A generalization of the Leman-Weaire-Thorpe theorem

Abstract
A result of Leman, Weaire and Thorpe, initially proved for fourfold coordinated semiconductors is generalized to much wider situations where topological disorder may be taken as the primary factor determining the electronic properties of the system. We consider materials where identical clusters of atoms are linked through identical atomic chains, and where the interactions between these entities only depend on their relative positions on the graph underlying the whole structure. We show that there is a possible factorization of the tight-binding Hamiltonian which yields an energy density of states made up of delta peaks and energy bands; these bands, in turn, can be obtained, through a simple algebraic manipulation, from the spectrum of the adjacency matrix of the graph which represents the clusters as vertices and the chains as edges. This property is further generalized to the case where clusters are of two types, with chains only between clusters of different types. In order to provide an illustrative application of our formalism, we repeat band structure calculations for GeSe2 published by Lannoo and Bensoussan and show that more precise results can now easily be obtained, for instance, by taking into account the interaction between bonding and antibonding orbitals adjacent to the same Ge atom.

Résumé
Nous avons généralisé un résultat, initialement démontré par Leman, Weaire et Thorpe pour des semiconducteurs tétracoordonnés, à un ensemble de situations très diverses où le désordre topologique est le principal responsable des propriétés électroniques du système. Nous considérons des matériaux constitués d'amas identiques d'atomes reliés par des chaînes d'atomes elles-mêmes identiques et tels que les interactions entre ces entités soient uniquement fonction de leur position relative sur le graphe associé à l'ensemble de la structure. Nous montrons qu'il est alors possible de factoriser le Hamiltonien à liaisons fortes ; on obtient ainsi une densité d'états en énergie constituée de « pics delta » et de bandes d'énergie ; celles-ci peuvent être déterminées, par une transformation algébrique simple, à partir du spectre de la matrice incidence associée au graphe qui admet les amas pour sommets et les chaînes atomiques comme arêtes. Cette propriété est étendue au cas où les amas sont de deux types, les liaisons n'intervenant qu'entre amas de types différents. Pour donner un exemple d'application, nous avons repris les calculs de structure de bande de GeSe2 publiés par Lannoo et Bensoussan, et montré qu'on peut améliorer leur traitement en tenant compte par exemple du couplage entre orbitales liantes et antiliantes adjacentes à un même atome de germanium.