Un modèle dans l'espace des phases pour l'étude des plasmas non collisionnels : le « water bag »

Abstract
An useful model in plasma oscillation problems is obtained by considering a distribution function f (x, v, t = 0) equal to a constant A inside a region of phase space limited by two curves V±(x, t) and 0 elsewhere. We consequently are dealing with an incompressible, homogeneous « fluid » in phase space and we have just to follow the evolution of the two boundaries. We show a formal analogy of this model with an hydrodynamic model ; then, we carefully studied the non linear plasma oscillations through the introduction of a stream function and Lagrangian variables. Initial situations in which one or two modes are excited are considered. Harmonics and wave interaction are studied. For long wavelength and small non linearities the complete solution is obtained which exhibits the interesting interaction between thermal and non linear terms, especially the frequency drift of the non-linear plasma oscillation. Finally, computer simulation of the model is performed and the numerical results are shown to fully support the theory.

Résumé
Un modèle qui s'est avéré utile dans l'étude des oscillations de plasma est obtenu en considérant une fonction de distribution f(x, v, t = 0) égale à une constante A à l'intérieur d'une région de l'espace des phases, limitée par deux courbes V±(x, t) et égale à 0 ailleurs. La conséquence est que nous avons affaire à un « fluide » incompressible et homogène dans l'espace des phases et qu'il suffit de suivre les évolutions des deux frontières. Nous montrons une analogie formelle de ce modèle avec un modèle hydrodynamique, puis nous examinons soigneusement les oscillations de plasma non linéaires. Nous introduisons la fonction d'écoulement et passons en variables de Lagrange. Nous considérons des situations initiales avec un ou deux modes excités. Nous étudions l'apparition des harmoniques et l'interaction onde-onde. Pour les petites non-linéarités et les grandes longueurs d'ondes, la solution complète est obtenue et montre des interactions intéressantes entre les termes thermiques et les termes non linéaires en particulier la dérive de fréquence des oscillations de plasma non linéaire. Enfin, nous simulons sur ordinateur le modèle. Les résultats numériques sont en parfait accord avec les résultats théoriques.