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Les cristaux considérés comme des graphes ou des 2-complexes ; le cas des cristaux apériodiques

Abstract
It is usual to think of a crystalline symmetry in terms of a rigid displacement between the neighborhoods of two equivalent points of a crystal. This approach to symmetry implies an underlying concept of conservation of lengths, whose physical meaning is obvious. But it might be advantageous in some cases to disengage oneself from metrical properties and to think of the symmetries of a crystal in terms of paths which follow the edges of the network or of the reciprocal lattice. If such is the case, it is the graph properties of the crystal which show up, or more generally its 2-complex properties. We illustrate their interest on two examples : 1) they are useful in order to relate the variation of the curvatures of two crystals having the same local order to their content in defects. In fact, the concept of curvature loses a part of its interest in this approach, but no that one of defect. The mathematical theory which lies behind is the algebraictopological theory of coverings, which establishes a homomorphism between corresponding paths ; the fiber of the covering can be interpreted as the defect which we have to introduce in order to change the curvature. This method does not require that the medium be crystalline in the usual sense ; it suffices that it has a graph description ; 2) the same theory of coverings brings a simple image of the topology of the « atomic surface » of a quasi-crystal, as equivalent to the topology of the paths on a 3-dimensional icosahedral crystal with negative Gaussian curvature, which is the universal covering of the triacontahedra which live in the space « perpendicular » to the quasi-crystal.

Résumé
Il est habituel lorsqu'on invoque une symétrie cristalline, de la penser en termes de congruence entre les voisinages de deux points équivalents du cristal. Ceci implique nécessairement une notion métrique, dont le sens physique est d'ailleurs évident. Mais on peut avoir avantage dans certains cas à s'abstraire des propriétés métriques, et à penser les symétries d'un cristal en termes de chemins qui suivent les arêtes des mailles élémentaires (ou de son réseau réciproque). Ce sont alors les propriétés de graphe (ou plus généralement de 2-complexes) du cristal qui sont mises en évidence. Nous illustrons ici l'intérêt d'une telle approche sur deux exemples : 1) les propriétés de graphe d'un cristal permettent de forger une image des variations de courbure qui peuvent exister entre deux milieux ayant le même ordre local, un peu différente de celle qui ressortit à la description en termes de disinclinaisons ; la théorie topologique des revêtements, appliquée aux graphes cristallins, permet en effet d'établir une relation d'homomorphisme entre chemins correspondants ; la fibre du revêtement peut être interprétée comme le défaut nécessaire à la variation de courbure ; 2) elles permettent de donner une image simple de la topologie de la « surface atomique » d'un cristal apériodique (quasi-cristal) : nous montrons en effet que cette topologie est équivalente à la topologie des chemins sur un cristal tridimensionnel de courbure gaussienne négative et de symétrie icosaédrique qui est le revêtement universel des triacontaèdres de l'« espace perpendiculaire » du quasi-cristal.